清末同治年间（1862—1874），湖南长沙一带自发形成了一个研究数学的团体，其主要成员有丁取忠、吴嘉善、黄宗宪、曾纪鸿、左潜等，参与其中或与其交往的数学研究者有数十人之众。他们在长沙城东北隅的古荷池精舍（又称荷花池馆）日夕研讨数学，交流研究成果，并于同治十三年（1874年）编纂、出版了一套含有23种算书的《白芙堂算学丛书》，为我国清末时期的数学发展做出了一定贡献。在中国古代数学发展史上，像这样因共同的爱好和观点而聚集在一起，并形成团体研讨数学的现象实不多见。为研究该现象方便起见，本文将该团体称作“长沙数学学派”。

关于该学派成员的情况，有关中国数学史方面的专著几乎都有介绍，但是一般都较为简略或过于零散，更没有把他们看作一个数学学派来研究，因此对该学派的活动情况及其学术思想缺乏深入分析和整体评价。本文通过系统介绍长沙数学学派的活动情况、研究动机、学术思想等，探讨它的历史作用和地位，以利于了解清末中西数学融会时期西方数学对我国数学界的影响。

　　1　长沙数学学派的形成过程

丁取忠（1810—1877），字果臣，号云梧，湖南长沙人。自少喜好算学，因苦无师承，且难得算书，所以他独自刻苦钻研，以致于寝食俱废，但收效甚微。

道光十七年至二十五年（1837—1845年）间，丁取忠就学于长沙城南书院。因无数学名师指导，故常与同学邹汉勋（1805—1853）、黄朗轩（？—约1840）及其表弟李锡蕃（1822—1850）等研讨数学，其间收集到宋代以来不少名家算书，如获至宝，寝馈不忘以视。取忠在研究数学方面“猛勇而精进，珠笔筹弗离于手，细草图说弗离于案，今有之分弗离于心。……果臣之为人笃诚，而学专精于此道，……”。咸丰元年（1851年），他完成了第一部数学专著《数学拾遗》，其中讨论有关用三色差分法解一次不定方程的百鸡问题，具有一定创见。次年，在邹汉勋之弟汉章、汉池帮助下完成了《舆地经纬度里表》，后又续补环海列国的经纬度，涉及世界各国的大中城市，其距离精确到里，经纬度精确到分。

咸丰四年（1854年），著名数学家徐有壬（1800—1860）往湖南任布政使，取忠慕名求见，就数学问题敬请指教；咸丰十年（1860年），应湖北巡抚胡林翼邀请，取忠与邹汉池等去武昌校书，欲以此为教本，筹建“箴言书院”。此间取忠与嘉定时曰醇相识，彼此就百鸡术等问题往复讨论中，时曰醇蓄疑已久的问题得解，于次年写成《百鸡术衍》。后因胡林翼病逝，筹办书院一事遂辍。

咸丰十一年（1861年）冬，江西吴嘉善因避乱由上海来长沙，始与取忠获交。两人过从甚密，取忠常“举生平疑义往返研究”，嘉善则“随笔剖示，久之成帙”，后经取忠编次大略，得算书20余篇。同治二年（1863年）丁取忠筹资，选其中浅近易晓的17篇印成《白芙堂算书17种》。

同治四年（1865年），曾国藩（1811—1872）在上海开设江南制造局，丁取忠、李善兰（1811—1882）等当时有名的学者为其幕宾，负责翻译西方科学著作。同治五年（1866年），广东巡抚郭嵩焘（1818—1891）筹建同文馆，曾向朝廷举荐实学人才：“南海生员邹伯奇木讷简古，专精数学；……长沙贡生丁取忠质行精粹，深明易理，年老而学益笃；……又浙江诸生李善兰淹通算术，尤精西法，宜与邹伯奇并置之同文馆，以资讨论”。由此可见，丁取忠在湖南数学界的影响。

丁取忠、吴嘉善等十分注意与国内数学界的联系，“凡近日之善言算者，（取忠）先生皆订交焉”。嘉善也曾说：“余好算术，因得尽交今时之习算君子”。同治三年（1864年）初，嘉善由长沙去广州，通过南海邹伯奇（1819—1869）与钱塘夏鸾翔（1823—1860）结交，“三人者志同道合，盖相契非恒情所测已”。取忠初习算时，有人以发商生息类的问题见询，久无以对。与嘉善相识后，方知用屡乘法可解，但推算中仍多窒碍，又函询李善兰，李告以廉法表及求总率二术，其理始显。嘉善由广州返湘后，又示以指数表及开方式表，善兰复为之图解，然后由取忠设数例详为演草，成书《粟布演草》一卷。取忠将该书稿托人带往广州，请邹伯奇审阅，伯奇又增补开屡乘方法，并设题草写成《粟布演草》二卷。同治六年（1867年），李善兰出版“则古昔斋算学丛书”之际，请取忠、嘉善分别为其校正《天算或问》、《对数尖锥变法解》二书。同治九年（1870年），取忠去广州访已故数学家邹伯奇亲属，索求伯奇生平遗稿，并捐资筹金，嘱托陈澧为之付梓。

丁取忠家境并不富裕，但所收算书至备且广；他甘于淡泊，不求闻达，嗜算之心老而弥笃。“丁君果臣，则海内嗜算术者未之或先也”。他锲而不舍的治学精神、不耻下问的求学态度、对数学的特殊兴趣及所取得的数学成果，使他在当时数学界特别是湖南一带颇具声望，加之他本人又热情好客，故慕名而来的学者络绎不绝，大家公推丁取忠为湖南数学的领袖。先后拜师于取忠门下的弟子主要有黄宗宪、左潜、曾纪鸿等，长沙数学学派由此逐渐形成。

　　2　长沙数学学派主要成员及其活动

长沙数学学派的发起人，除丁取忠以外还应有吴嘉善，尽管他不是湖南人，但他与丁取忠一起在长沙参与了大量的数学活动，特别是在《白芙堂算学丛书》的撰写、编审和出版方面做了大量的工作，为长沙数学学派的形成起到了举足轻重的作用。

吴嘉善，字子登，江西南丰人，咸丰二年（1852年）进士，后任翰林院编修、广东同文馆教习、驻外国参赞、留美学童监督等职。曾与徐有壬、李善兰、邹伯奇、夏鸾翔、张文虎（1808—1885）、梅启照、华衡芳（1833—1902）等知名数学家交往。特别是因避乱来长沙与丁取忠交往数年，其数学观点、数学思想和方法对丁取忠等人产生过影响，其活动情况上文已述及。

黄宗宪，字玉屏，号小谷，湖南新化人，自幼嗜算，苦乏师承。同治十年（1871年）来长沙古荷池精舍，拜丁取忠为师，得观其富藏古今算书，其学始进。在学习期间，他“健于思而锐于进，凡古算之繁者、深者、变幻而莫测者，必一一究其源”，成为丁取忠的一位高足弟子。

左潜（？—1874），字壬叟，湖南湘阴人，左宗棠之侄，“英年绩学，于诗、赋、文、辞，无不深纯，……而于数学一道，尤孜孜不倦，遇有疑难之题必穷力追索，务洞澈其奥窔而后止”。同治十年（1871年）起，常与丁取忠论算，被引为忘年交。取忠见其心力胜人，又年少好学，故将徐有壬的《割圆八线缀术》稿交左潜予以校正、注释，并对各式一一补草。与此同时，左潜还发现钱塘戴煦（1805—1860）的《求表捷术》和蒙古族数学家明安图（？—1763？）的《割圆密率捷法》与《割圆八线缀术》理同而法异，且算式繁杂，故采用级数展开式中设变量的方法，写成《缀术释戴》和《缀术释明》，以便初学者了解戴、明二人在三角函数的无穷级数展开方面的成就。

曾纪鸿（1848—1877），字栗諴，湖南湘乡人，曾国藩之次子，少年好学，与其兄纪泽并精算术。当丁取忠、李善兰等学者为其父幕宾时，纪鸿常“讲习其间，折中一是，术必尽通而理必尽贯”。同治六年（1867年），曾为李善兰校订《四元解》一书；同治十一年（1872年），纪鸿来取忠门下共同研讨数学，取忠称其“颖悟绝伦，心精力果”。取忠认为，常用对数与自然对数头绪纷繁，因嘱纪鸿用西方代数方法彰显其理，遂于同治十三年（1874年）初撰成《对数详解》5卷。

西方数学有关素数理论于18世纪传入我国，左潜利用素数理论，在增订《割圆八线缀术》的基础上撰成《通分捷法》。黄宗宪观此书时，正在校订时曰醇的《求一术指》，由此发现，秦九韶（13世纪）的大衍求一术若用素数方法求定母，可使解一次同余式组的程序大为简化并规范化，于是撰成《求一术通解》2卷，这是我国传统数学与西方数学结合的范例之一。

同治十一年（1872年），取忠给纪鸿出了一道发商生息、本利同清的数学题，纪鸿用代数法推出的结果与取忠、嘉善和伯奇3人用传统方法所推的结果相同，令众人惊异，此法经左潜进一步加工附于《粟布演草》之后。次年，宗宪校此稿时发现，京师同文馆邮来的考试题中也有此类问题，而书中诸法尚不能解决，故仿下卷体例别立一法，补原书之未备。其中各术均为商贾之习算者而设，古算法中原不曾有，因此这应是商业数学发展的继续。

《数理精蕴》（18世纪）中载有西方数学家固灵花10年功夫求得的圆周率36位精确值，秀水朱鸿用无穷级数展开式求到40位，载入徐有壬的《务民义斋算学》之中，但左潜发现其后15位有误。于是，在取忠的提示和左潜、宗宪的协助下，纪鸿用月余时间推出圆周率100位，于同治十三年（1874年）撰成《圆率考真图解》。后来，宗宪去英国伦敦时，在其博物院的天文学书中发现了158位的圆周率。当他对照前100位与他们推得的数据完全相同时，欣喜若狂，立即抄录一份寄给取忠、纪鸿等人，一起分享成功的喜悦。

此外，在该学派内学习和工作过的还有黄传祁、殷家儶、罗汝怀等多人。黄传祁为刊刻算书做过校订工作，著有《算学绪言》16卷、《白芙堂丛书札记》5卷、《分法札记》和《蘧斋算草杂存》。殷家儶“自少时已以巧思冠绝侪辈”，著有《克念斋算草》一书，且在光学及力学方面颇有研究。

　　3　长沙数学学派的数学成果

“（丁取忠）先生精算理，为楚南绝学之倡”，他把黄宗宪等年轻人引为忘年交，师徒朝夕聚首畅谈，彼此相质，遇有疑义，必穷而后已。这颇似现代大学或研究所的研究生和其导师的关系。他们合力著书立说，在不到3年的时间内，完成的数学著作达6部之多；在其余时间里，他们还撰写或校订过大量的数学著作，获得了不少数学成果，其内容已在前文各处述及。除此之外，该学派的数学成果还表现在：他们的研究范围几乎涉及当时国内数学研究的各个方向；他们在发掘、整理前人的数学成果并加以研究的同时，也注意吸收西方传来的数学知识，并有意尝试使两者有机的结合。由于丁取忠把撰著的目的放在“经世致用”上，因此除个别数学成果外，大多为浅近、实用的算书，这在继承我国传统数学、学习西方先进知识、普及数学教育等方面发挥了作用。

同治十三年（1874年），丁取忠主持编纂并自费出版了《白芙堂算学丛书》共23部，其中唐、宋、元时期的数学名篇4部，清代数学家李锐、夏鸾翔、徐有壬、邹伯奇等人的著作9部，日本数学家的著作1部，其余9部均为长沙数学学派的成员所完成。在校对方面，黄宗宪出力最大，“宗宪任讎校之役，订正精审，毫发无憾”。取忠把当年胡林翼所赠的购书之资全部用于出版这套丛书上，他说，他晚年之所以不惜一切代价刊印这套丛书，是为了使那些“既乏师授，又困寒门”且“有志于此者，由浅入深，为功较易，当不至于如予之老而无成也”。

该丛书出版后不久，即“风行海内，遂为畴人家必读之本”。英国科学史家李约瑟称该丛书是“著名的中国古代数学著作集”。丛书刊出后不久，便在国内许多地方多次重印，仅在1896—1898年的3年间，上海就有4家书局分别再版过。长沙数学学派所有成员的著作还被《古今算学丛书》（刘铎编，1896）等一些大型丛书收入，仅黄宗宪的《求一术通解》就被5种这样的丛书收入过。

　　4　长沙数学学派研究数学的动机

4.1出自兴趣

丁取忠“少喜步算”，“以撰著自娱，不求闻达。”吴嘉善曾说：“余与长沙丁君果臣皆无他嗜好，而甚癖于此”。黄宗宪也称“自幼嗜算”，且与左潜、曾纪鸿两人研讨数学时，“诚一时快意事也”。曾纪鸿与其兄纪泽一起在学堂念书时，两人并精算术，他的文采还比其兄略胜一筹，其父曾国藩曾禁止他们学数学。以后，纪泽做了外交官，而他却执拗地选择了钻研数学这条艰辛的道路。

由于共同的兴趣和志向，他们走到了一起。为寻求更多知音以利于学术研讨，“凡近日之善言算者，先生皆订交焉”。黄宗宪以后到江南制造局时，也“尽交中西算友”。

4.2普及数学教育

丁取忠与吴嘉善“尝相与语，以为近时津逮初学之书，苦无善本，……因商榷共述此卷，取其浅近易晓者，以为升高行远之助。”“既患其癖，更欲以癖导人”。黄宗宪谈编书原则说：“辞取浅显，以便初学，虽伤烦冗，亦所不计”。取忠讲丛书将古典算书收入的原因时说：“外间未有单行本，寒畯每苦难得，兹特梓之，以广其传”。邹伯奇看了取忠《粟布演草》后叹道：“今观先生所著，则诚足以启蒙发嘳，而为浅学之先导者矣”。

4.3吸收西方数学的同时，发掘、继承传统数学

该学派研究古代算书、刊印经典著作的目的在于“不可使术意之终于湮没也！”丁取忠曾说：“世谓古今人不相及，吾谓：古人实有借于今人”，若不是时曰醇在《百鸡术衍》中“阐其蕴而通其变，世焉知古书之足贵哉”。左潜对“中西家新旧诸法，皆循其当然而抉其所以然”。黄宗宪在《求一术通解》序中说：“是编所定新法，意在明数理之相通，非敢与古人辩得失”。

4.4学以致用，富国强民

曾纪鸿认为：“迩日深于算者，穷理之功多，演数之功少，反觉不切于日用”。邹伯奇认为：“今算学之衰，非不精深之患，而不熟习之患”，有些艰深隐奥的理论，“虽有识者赏其佳妙”，但“不给于世用”，倒不如取忠等人撰写浅近读物更切合实际。后来，黄宗宪说他的撰著目的，“不特能竟古人未竟之绪，洵可施诸实用”，因为他在出使西欧诸国期间，“细察彼邦种种学术，皆以算学为根柢功夫，……事事讲求实学，取精用宏。窃叹：彼邦之富强，诚非可倖而致也！”吴嘉善也认为：“朝廷开天文算学馆，……为国家造就材艺之士，岂非当务之急？”

　　5　长沙数学学派的数学观点和思想

长沙数学学派成员在他们的著作中或序言里流露出各自的数学观点和思想，由于对数学的认识上相互之间有影响，彼此在数学讨论时又很投机，学术观点较为一致，因此具有一定的代表性。

5.1数学原理是反映客观的真理

曾纪鸿用新法推出与李善兰、吴嘉善和邹伯奇相同的结果后说：“古人谓，人心不同如其面，何以数学一道，虽以鄙见之浅薄，竟克与三君相吻合耶”。当他推出与西方相同的圆周率时说：“中西相隔数万里，此率乃不谋而合，亦可信心无疑矣”。他引过左潜一句话：“方圆之理乃天地自然之数”。吴嘉善把规范、整齐的级数表达式看成“若天造地设，不假推求而得”。黄宗宪用图解法解决容圆问题后也有类似的说法，并称西方传入的圆锥曲线“乃算学中至精至巧，自然之妙”的东西。

5.2重视数学理论的研究

他们研究数学已不满足于获得算法，更希望能阐明其成立的原因，或者揭示其数学理论的背景。丁取忠“阅旧书《对数比例》，喜其演数之详，复病其抉理之不显，则虽详如未详也！”，他认为“算理既明，则全书各式亦无不可涣然冰释。”左潜无论中西算法，“皆循其当然而抉其所以然”。他们认为，自秦九韶以来有多人研究大衍求一术，但“皆未能洞悉其源，是以于所以然之理，俱未能切近言之也”。正是由于黄宗宪看到前人“仅识其当然，而于所以然终阙如”的缺陷，方能在同余式理论方面获得重大进展。

这一特征显然与西方数学产生的影响有关，这在我国传统数学研究方式上是一大进步。

5.3对西方数学既不一概排斥，又不盲目推崇

曾纪鸿同意左潜的观点，即“方圆之理乃天地自然之数，吾之宗中宗西，不必分其畛域”。吴嘉善主张“中西之法兼而用之”，反对那些“好古者或未通西法，通西法者又率弃置古书”的态度。黄宗宪写《容圆七术》的目的就在于“启中西之秘，别成一家言”。他们也能在与中国传统数学比较的基础上，对西方数学给予中肯的评价。

　　6　结 语

同治十三年（1874年）秋，左潜英年早逝。光绪二年（1876年）春，黄宗宪离长沙去上海，后与吴嘉善先后出国；次年，丁取忠与曾纪鸿相继谢世。长沙数学学派只存在了短短的数年时间。组织数学学术团体，建立数学研究中心，是推动数学向前发展的重要形式。古希腊出现了不少数学学派，西方从17世纪起，数学学派更是层出不穷，许多新的数学思想或重大的数学成果就是在这些学派中酝酿成熟的。反观中国数学发展史，大规模的学术团体几乎没有。18世纪初，以梅文鼎（1633—1721）为首的安徽宣城曾一度成为我国民间数学研究的中心；到19世纪，中心转移到江浙沿海一带。由于丁取忠的积极倡导和不懈努力，湖南长沙也有形成数学中心的势头，但是，长沙数学学派主要成员溃散之后，这个势头很快就消失了。

无论如何，长沙数学学派留下的东西值得一书，这种现象和所产生的影响值得研究，特别是丁取忠那种废寝忘食、刻苦求学的精神值得表彰。他们在吸收西方数学、普及大众数学、数学书籍出版等方面的工作应当肯定。

此时，正值西方的数学研究中心处于德国，而德国成为世界数学研究中心的重要原因，正是那里相继出现了许多大的数学学派。此后，有许多来自世界各地的留学生陆续奔赴德国求学，其中包括我国的大数学家陈省身、曾炯之等人。